4.2 导数的计算

导数的四则运算

设 $f (x), g (x)$ 在 $x$ 处可导, 则

$(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$ ;
$(f (x) g (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ;
${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)}, g (x) \neq 0$ .

证明

由导数的定义,

\begin{aligned} (f (x) + g (x))^{'} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{(f (x + Δ x) + g (x + Δ x)) - (f (x) + g (x))}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} + lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x} = f^{'} (x) + g^{'} (x) . \end{aligned}

设 $y = f (x) g (x)$ , 注意到

\begin{aligned} Δ y & = f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x) \\ = [f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x + Δ x) g (x)] + [f (x + Δ x) g (x) - f (x) g (x)] \\ = f (x + Δ x) \cdot Δ g + Δ f \cdot g (x) . \end{aligned}

因此

y^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x) \frac{Δ g}{Δ x} + lim_{Δ x \to 0} g (x) \frac{Δ f}{Δ x} = f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x) .

设 $y = \frac{1}{g (x)}$ , 则

Δ y = \frac{1}{g (x + Δ x)} - \frac{1}{g (x)} = \frac{- Δ g}{g (x + Δ x) g (x)} .

因此

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{- Δ g}{Δ x} \cdot \frac{1}{g (x + Δ x) g (x)} = - \frac{g^{'} (x)}{g^{2} (x)} .

从而结合 (2) 有

{(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = {(f (x) \cdot \frac{1}{g (x)})}^{'} = f^{'} (x) \frac{1}{g (x)} + f (x) (- \frac{g^{'} (x)}{g^{2} (x)}) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)} .

复合运算/链导公式

若 $y = f (u)$ 在 $u_{0}$ 处可导, $u = g (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 且 $u_{0} = g (x_{0})$ , 则 $y (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 处可导, 且

(f \circ g)^{'} (x_{0}) = f^{'} (u_{0}) g^{'} (x_{0}),

即

{\frac{d y}{d x} |}_{x = x_{0}} = {\frac{d y}{d u} |}_{u = u_{0}} \cdot {\frac{d u}{d x} |}_{x = x_{0}} .

证明

由 $Δ y = f (g (x_{0} + Δ x)) - f (g (x_{0})), Δ u = g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0}) = u - u_{0}$ .
则考察 $y = f (u)$ 在 $u_{0}$ 处的导数 $f^{'} (u_{0}) = lim_{Δ u \to 0} \frac{f (u_{0} + Δ u) - f (u_{0})}{Δ u}$ , 记

α (Δ u) = \frac{f (u_{0} + Δ u) - f (u_{0})}{Δ u} - f^{'} (u_{0}) .

在 $Δ u \to 0$ 时 $α \to 0$ , 定义 $α (0) = 0$ , 则

f (u_{0} + Δ u) - f (u_{0}) = Δ u f^{'} (u_{0}) + α (Δ u) Δ u,

进而

Δ y = f (g (x_{0} + Δ x)) - f (g (x_{0})) = f (u_{0} + Δ u) - f (u_{0}) = Δ u f^{'} (u_{0}) + α (Δ u) Δ u,

于是

(f \circ g)^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (\frac{Δ u}{Δ x} f^{'} (u_{0}) + α (Δ u) \frac{Δ u}{Δ x}) = g^{'} (x_{0}) f^{'} (u_{0}) + 0 \cdot g^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0}) f^{'} (u_{0}) .

于是命题得证.

反函数的导数

若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的邻域内严格单调且连续, $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ , $y_{0} = f (x_{0})$ , 则反函数 $x = φ (y)$ 在 $y_{0}$ 处可导, 且 ${\frac{d x}{d y} |}_{y = y_{0}} = φ^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f^{'} (x_{0})}$ .

证明

$\begin{aligned} φ^{'} (y_{0}) & = lim_{y \to y_{0}} \frac{φ (y) - φ (y_{0})}{y - y_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{x - x_{0}}{f (x) - f (x_{0})} \\ = \frac{1}{lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}} = \frac{1}{f^{'} (x_{0})} . \end{aligned}$

基本初等函数的导函数

在下列函数的定义域内:

$(C)^{'} = 0$ .
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ .
$(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a, (0 < a < 1 或 a > 1)$ ; 特别地 $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
$(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}, (0 < a < 1 或 a > 1)$ ; 特别地 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
$(\sin x)^{'} = \cos x, (\cos x)^{'} = - \sin x, (\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}, (\cot x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$ .
$(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ , $(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ , $(\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

证明

$(C)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{C - C}{Δ x} = 0$ .
由推论(5) 得 $(x^{α})^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{α} - x^{α}}{Δ x} = x^{α - 1} lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + \frac{Δ x}{x})}^{α} - 1}{\frac{Δ x}{x}} = α x^{α - 1}$ .
由推论(4) 得 $(a^{x})^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{x + Δ x} - a^{x}}{Δ x} = a^{x} lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{Δ x} - 1}{Δ x} = a^{x} \ln a$ . 特别地, $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
由推论(2) 得 $(\log_{a} x)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\log_{a} (x + Δ x) - \log_{a} x}{Δ x} = \frac{1}{x} lim_{Δ x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + \frac{Δ x}{x})}{\frac{Δ x}{x}} = \frac{1}{x \ln a}$ . 特别地, $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
由 (4.1) 得

(\sin x)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x) - \sin x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (\sin x \frac{\cos Δ x - 1}{Δ x} + \cos x \frac{\sin Δ x}{Δ x}) = \cos x .

同理得

(\cos x)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos (x + Δ x) - \cos x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (\cos x \frac{\cos Δ x - 1}{Δ x} - \sin x \frac{\sin Δ x}{Δ x}) = - \sin x .

由导数的四则运算得

(\tan x)^{'} = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{(\sin x)^{'} \cos x - (\cos x)^{'} \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} .

(\cot x)^{'} = {(\frac{\cos x}{\sin x})}^{'} = \frac{(\cos x)^{'} \sin x - (\sin x)^{'} \cos x}{\sin^{2} x} = \frac{- \sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = - \frac{1}{\sin^{2} x} .

记 $y = \arcsin x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], x \in [- 1, 1]$ , 由反函数的导数得

(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{(\sin y)^{'}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .

(\arccos x)^{'} = \frac{1}{(\cos y)^{'}} = - \frac{1}{\sin y} = - \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} y}} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .

(\arctan x)^{'} = \frac{1}{(\tan y)^{'}} = \cos^{2} y = \frac{1}{1 + \tan^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

(arccot x)^{'} = \frac{1}{(\cot y)^{'}} = - \sin^{2} y = - \frac{1}{1 + \cot^{2} y} = - \frac{1}{1 + x^{2}} .

由基本初等函数的导函数公式以及本节讨论的结论, 容易知道初等函数在其定义域内都可导, 并且导数可求.

在此声明两个错误的命题, 在四则运算和复合运算后我们可以构造反例来证伪.

错误命题一: 导函数一定是连续的.
错误命题二: 函数在某点的右导数等于导函数在该点的右极限.

我们构造 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 则 $f^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ , 而 $x \neq 0$ 时 $f^{'} (x) = 2 x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$ . 注意到 $f^{'} (x)$ 在 0 处不存在极限, 因此 $f^{'} (x)$ 不连续, 从而命题一是错误的.
进而, 由于 $f (x)$ 在 0 处可导, 故右导数亦等于导数值 0, 而导函数在 0 处不存在右极限, 因此命题二也是错误的.

高阶导数

若 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 的邻域内有导函数 $f^{'} (x)$ , 且 $f^{'} (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处二阶可导, 记为

f^{″} (x_{0}) ≅ lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x) - f^{'} (x_{0})}{x - x_{0}} .

一般地, 若 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 的邻域内有 $n - 1$ 阶导函数 $f^{(n - 1)} (x)$ , 且 $f^{(n - 1)} (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可导, 记为

f^{(n)} (x_{0}) ≅ lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{(n - 1)} (x) - f^{(n - 1)} (x_{0})}{x - x_{0}} .

由于初等函数的导数都还是初等函数, 因此初等函数总是高阶可导的. 下面就给出几个常见函数的高阶导数.

命题

在下列函数的定义域内

$(a^{x})^{(n)} = a^{x} (\ln a)^{n}, (e^{x})^{(n)} = e^{x}$ .
${(\frac{1}{a + x})}^{(n)} = \frac{(- 1)^{n} n!}{(a + x)^{n + 1}}$ .
$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2}), (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$ .

一般地, 我们给出如下公式

Leibniz 公式

设 $f (x), g (x)$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可导, 则 $f (x) g (x)$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可导, 且

(f (x) g (x))^{(n)} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i)} (x) .

证明

用数学归纳法. 为了方便, 我们用 $f, g$ 表示 $f (x), g (x)$ .
在 $n = 1$ 时, $(f g)^{(1)} = f^{'} g + g^{'} f = f^{(1)} g^{(0)} + g^{(1)} f^{(0)}$ .
设 $n = k$ 时结论成立, 则在 $n = k + 1$ 时

\begin{aligned} (f g)^{(k + 1)} & = {((f g)^{(k)})}^{'} = {(\sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) f^{(i)} g^{(k - i)})}^{'} \\ = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) f^{(i + 1)} g^{(k - i)} + \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) f^{(i)} g^{(k - i + 1)} \\ = \sum_{i = 1}^{k + 1} (\binom{k}{i - 1}) f^{(i)} g^{(k - i + 1)} + \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) f^{(i)} g^{(k - i + 1)} \\ = f^{(0)} g^{(k + 1)} + f^{(k + 1)} g^{(0)} + \sum_{i = 1}^{k} ((\binom{k}{i}) + (\binom{k}{i - 1})) f^{(i)} g^{(k - i + 1)} \\ = f^{(0)} g^{(k + 1)} + f^{(k + 1)} g^{(0)} + \sum_{i = 1}^{k} (\binom{k + 1}{i}) f^{(i)} g^{(k - i + 1)} \\ = \sum_{i = 0}^{k + 1} (\binom{k + 1}{i}) f^{(i)} g^{(k + 1 - i)} . \end{aligned}

根据归纳原理, 得证.